On obtient le système d'équation suivant :

qui n'accepte de solutions non triviales que si son déterminant associé est nul :

qui se développe selon :

les solutions s'écrivent alors:

Les solutions ne sont pas triviales, appliquons quelques simplifications afin d'obtenir des solutions plus simples.

Les deux atomes sont de types différents. L'énergie de leur orbitale (même si elles sont de types identique) sont également différentes. Posons 1< 2.

La méthode variationnelle tend à maximiser la participation de l'orbitale atomique de plus basse énergie dans l'écriture de l'orbitale moléculaire de plus basse énergie. En première approximation, le plus bas niveau énergétique moléculaire sera plus négatif que la plus négative des orbitales atomiques, dans notre cas 1. On obtiendra la tendance inverse pour l'orbitale atomique de plus haute énergie.

Ainsi, l'approximation qui mène à la résolution la plus simple consiste à considérer que les solutions sont presque indépendantes

Dans ce cadre, E1 sera plus négative que 1et E2 sera légèrement moins négative que 2. E1 sera donc le niveau associé à l'orbitale liante et E2 sera associé à l'orbitale antiliante.

Considérons E1, la condition provenant du développement du déterminant donne :

Considérons E2, la condition provenant du développement du déterminant donne :

Les solutions énergétiques s'écrivent :