Définition
Un opérateur est un objet mathématique qui agit sur une fonction \(\Psi\) et la transforme en une autre fonction \(\Psi'\) . On note conventionnellement les opérateurs par un symbole alphabétique surmonté d'un accent circonflexe. C'est la convention adoptée ici.
Un opérateur \(\mathrm{\hat G}\) s'écrira donc dans une formule : \(\mathbf{\hat G}\)
L'opérateur transforme une fonction portée à sa droite : \(\mathbf{\hat G \Psi=\Psi'}\)
On distingue les opérateurs différentiels et les opérateurs multiplicatifs.
Exemple : Opérateur différentiel
\(\mathbf{\hat G=\frac{\partial}{\partial x}\Leftrightarrow\hat G \Psi=\frac{\partial\Psi}{\partial x}}\)
Exemple : Opérateur multiplicatif
\(\mathbf{\hat G=\frac{1}{2}.k.x^2\Leftrightarrow\hat G \Psi=\frac{1}{2}.k.x^2.\Psi}\)
On peut définir des opérateurs vectoriels qui transforment une fonction scalaire en fonction vectorielle :
Exemple : Opérateur vectoriel
\(\mathbf{\hat G=\frac{\partial}{\partial x}.\overrightarrow i+\frac{\partial}{\partial y}.\overrightarrow j+\frac{\partial}{\partial z}.\overrightarrow k}\)
Son action sur une fonction \(\Psi\) donne :
\(\mathbf{\hat G \Psi=\frac{\partial\Psi}{\partial x}.\overrightarrow i+\frac{\partial\Psi}{\partial y}.\overrightarrow j+\frac{\partial\Psi}{\partial z}.\overrightarrow k}\)