1. On applique le principe des variations.

On cherche le minimum de l'énergie E de l'atome par rapport à . Il suffit d'annuler la dérivée première :

soit :

est la charge effective qui attire l'électron, compte tenu de la répulsion de l'autre électron qui fait écran à l'attraction du noyau.

On peut ainsi estimer la constante d'écran , qui est très proche de celle proposée par Slater dans le modèle plus simple qui porte son nom.

2. La densité radiale pour une orbitale 1s de symétrie sphérique est égale au produit de la densité en un point de la sphère par la surface de la sphère :

Pour le cation hydrogénoïde , . Les courbes sont représentées ci-dessous. La densité pour l'orbitale 1s de possède une extension plus importante et son maximum est déporté vers les grandes valeurs de .

Le rayon le plus probable correspond au maximum de la densité radiale. On cherche les extrémas :

Le maximum est en . Le rayon le plus probable est donc situé en :

pour

pour

La présence de deux électrons sur l'orbitale 1s la rend donc plus diffuse que l'orbitale hydrogénoïde. Cette respiration de l'orbitale traduit la répulsion entre les deux électrons.