Cas

On ne retient que les c'est à dire .Pour l'entier N correspondant obtenu dans (*) on a

écrivant l'inégalité précédente pour et multipliant termes à termes on obtient et en extrayant la racine n-ième :

Quand n tend vers l'infini, tend vers 1, tend aussi vers 1 et le premier terme tend vers ,donc il existe tel que pour tout n supérieur à le premier terme soit supérieur à .De même il existe  tel que pour tout n supérieur à , le troisième terme soit inférieur à .

Pour on a alors ce qui montre que tend vers L.

Cas L=0.

L'encadrement reste valable, mais le premier terme est négatif, on n'a pas le droit de multiplier membre à membre des inégalités comportant des nombres négatifs (en conservent le signe <). On ne va conserver que la majoration de

on en déduit comme précédemment que

et qu'il existe M tel que pour on a ce qui montre que tend vers 0.