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Test
Le test comporte 5 questions :
Ensembles de définition
Tracer le graphe
Fonctions paires/impaires
Fonctions bornées
Période
La durée indicative du test est de 23 minutes.
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Ensembles de définition

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes

Tracer le graphe

Tracer le graphe de la fonction définie sur par

.

Fonctions paires/impaires
  1. Question de cours :

    Montrer que toute fonction de dans s'écrit de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, que l'on appelle respectivement partie paire et partie impaire.

  2. Application :

    Décomposer la fonction en partie paire et partie impaire.

Fonctions bornées

Soient et deux fonctions bornées définies sur un intervalle .

  1. Montrer que

  2. L'inégalité peut-elle être stricte ?

Période

Montrer que la fonction caractéristique de l'ensemble des nombres rationnels, notée et qui vaut si et pour tout est périodique et qu'il n'y a pas de plus petite période positive non nulle.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Ensembles de définition
  1. Il faut et il suffit que l'expression à l'intérieur de la racine carrée soit positive ou nulle. En étudiant l'équation du second degré, on obtient soit .

  2. Il faut et il suffit que le dénominateur ne s'annule pas soit ou bien .

  3. La fonction prend des valeurs comprises entre et . L'expression à l'intérieur de la racine carrée est donc positive pour tout et donc .

  4. En utilisant les racines trouvées pour la fonction , on sait que le dénominateur s'annule pour et . On a donc .

  5. La fonction est périodique de période . Pour , la fonction est croissante et on a

    On en déduit aisément que

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Tracer le graphe
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Fonctions paires/impaires
  1. Revoir le cours :

    Pour toute fonction , on peut écrire :

    .

    où le premier terme de la somme est la partie paire, le deuxième la partie impaire.

  2. Voici deux solutions.

    La première méthode est très générale mais conduit à une expression pas toujours très simple. On a, pour tout réel ,

    où la première partie est paire, la seconde est impaire.

    La seconde méthode repose sur les formules de trigonométrie. On écrit

    La décomposition étant unique, on en déduit (en identifiant les parties paires et impaires) que

    Ce que l'on sait directement si on connaît les formules de transformations de produits de fonctions trigonométriques en sommes.

    Moralité : Les méthodes générales ne donnent pas toujours les résultats les plus simples.

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Fonctions bornées
  1. On part de la définition de . On a donc

    .

    En additionnant ces 2 inégalités, on obtient

    Cette inégalité étant valable pour tout , on en déduit l'inégalité demandée.

  2. Oui, il suffit de donner un contrexemple pour lequel l'inégalité est stricte. On prend par exemple sur les fonctions et définies et qui vérifient

    .

    De plus, la fonction est la fonction constante égale à 1. cqfd.

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Période

On vérifie que pour tout rationnel et tout réel :

car si alors et si alors (par l'absurde, si était rationnel alors serait rationnel). Donc tout nombre rationnel est une période (voir définition). Pour tout réel il existe un rationnel tel que . Il n'y a pas de plus petite période strictement positive.

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Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/21
Seuil critique :14
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :23 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)