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Test
Le test comporte 5 questions :
Fonctions continues sur un intervalle
Fonctions continues sur un intervalle
Fonctions continues sur un intervalle
Fonctions continues sur un intervalle
Fonctions continues sur un intervalle
La durée indicative du test est de 34 minutes.
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Fonctions continues sur un intervalle

Soit et deux réels, les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

  1. Soit : , si l’image est un intervalle fermé borné, alors est continue sur .

  2. Soit : , si l’image est un intervalle ouvert, alors n’est pas continue sur

  3. Soit : , si est continue sur alors on a ou

Indication : l’énoncé veut dire que soit la fonction est constante, de valeur 1, soit elle est constante de valeur 0.

Fonctions continues sur un intervalle

Soit : une fonction continue qui vérifie :

(I) .

  1. Montrer que est injective.

  2. Montrer que est surjective.

    Indication : On pourra montrer que .

  3. Soit : une fonction qui vérifie

    (II)

Montrer qu’on a , ou bien .

Fonctions continues sur un intervalle

Soit une fonction numérique continue sur . On suppose que quand .

  1. Montrer qu’il existe un réel tel que .

  2. Montrer que la fonction est minorée et atteint sa borne inférieure.

Fonctions continues sur un intervalle

Soit un entier.

  1. Montrer que l’équation admet une unique racine supérieure à 1 (on la notera un).

  2. Montrer que la suite (un) est décroissante. En déduire que la suite (un) est convergente. On note sa limite.

  3. Peut-on avoir ? Conclure.

Fonctions continues sur un intervalle

Soit une fonction réelle continue sur . On suppose que la fonction admet un point fixe c’est à dire que l’équation admet une solution sur . Montrer que la fonction a un point fixe sur .

Indication : notant x0 un point fixe de et la fonction définie par , considérer les réels et .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Fonctions continues sur un intervalle

Démonstration

  1. Soit : , si l’image est un intervalle fermé borné, alors est continue sur .

    FAUX

    Justification :

    Il suffit de donner un contre-exemple.

    Prenons la fonction définie sur par .

    L'image de est l'intervalle fermé borné et la fonction n'est pas continue en 1 donc n'est pas continue sur .

    Bien sûr beaucoup d'autres contre-exemples sont possibles, si vous n'êtes pas sûr du vôtre, demandez l'avis d'un tuteur.

    2pts

  2. Soit , si l'image est un intervalle ouvert, alors n'est pas continue sur .

    VRAI

    Justification :

    Un théorème du cours montre que l'image par une application continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné, or un intervalle ouvert n'est pas fermé ou n'est pas borné, donc ne peut pas être continue.

    2pts

  3. Soit

    : , si est continue sur alors on a ou

    VRAI

    Justification :

    - ou bien il existe un réel tel que , soit un autre réel . L’image de l’intervalle fermé borné est un intervalle (fermé, borné, mais cela ne sert pas) non vide (il contient 1) contenu dans l’ensemble : c’est donc et . On en déduit que est la fonction constante égale à 1.

    - sinon pour tout réel , et est la fonction constante égale à 0.

    2pts

0
1
2
3
4
5
6
Fonctions continues sur un intervalle

Démonstration

  1. Soient et deux éléments de tels que , d’après l’inégalité (I) :

    et est injective.

    Remarque : la continuité ne sert pas.

    1pt

  2. Puisque est à valeurs dans et satisfait à l’hypothèse (I) : . Si l’un des deux nombres et n’est pas une borne de l’intervalle, l’inégalité de gauche est stricte, ce qui est impossible à cause de l’inégalité de droite, donc .

    1pt

    L'image par de l'intervalle est un intervalle contenu dans et contenant 0 et 1 :

    c'est donc et est surjective.

    1pt

  3. Détermination de :

    On a, comme dans 1. et 2.

    • Si :

      ,

      ,

      d'où à la fois et .

    Dans ce cas, .

    • Si : on trouve de même

      et

    d'où .

Remarque : dans ce cas, la continuité n’intervient pas, mais, puisque les deux seules solutions du problème sont deux bijections continues, on trouve que toute fonction vérifiant (II) est continue, même si on ne l’a pas supposé a priori.

2pts

0
1
2
3
4
5
Fonctions continues sur un intervalle

Démonstration :

  1. Soit , puisque quand , il existe un réel tel que

    (*)

    2pts

  2. Sur l’intervalle , la fonction continue est bornée et atteint ses bornes. Soit la borne inférieure (atteinte) sur cet intervalle, alors et grâce à (*) c’est un minorant sur .

    Il est atteint (sur ) donc c’est la borne inférieure.

    3pts

0
1
2
3
4
5
Fonctions continues sur un intervalle

Démonstration :

  1. Pour , la fonction fn : définie, continue, dérivable sur a pour dérivée qui est positif donc fn est strictement croissante. Comme et que fn tend vers quand tend vers , il existe tel que . D’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur il y a une racine supérieure à 1 et elle est unique puisque est strictement croissante.

    2pts

  2. Comme et donc : la suite (un) est décroissante, elle est minorée donc convergente.

    2pts

  3. Sa limite vérifie

    D'autre part, on a (facile à calculer), d'où .

    On a donc, , d'où .

    Si , ce qui est impossible.

    Conclusion : .

    2pts

0
1
2
3
4
5
6
Fonctions continues sur un intervalle

Démonstration :

Soit x0 un point fixe de et la fonction définie par , considérons les réels et .

1pt

Ils sont opposés. S’ils sont tous les deux nuls, x0 est point fixe de , sinon, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction continue s’annule entre les deux points x0 et et il existe tel que c’est à dire que . On a trouvé un point fixe.

2pts

0
1
2
3
Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/25
Seuil critique :17
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :34 min.
Conclusion :
Légende :
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S'évaluer
S'exercer
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