La fonction est continue sur comme produit de fonctions continues sur et ne s'annule pas sur cet intervalle.

Donc la fonction est continue sur

Il suffit alors de vérifier qu'elle est strictement monotone sur pour en conclure qu'elle établit une bijection de sur l'intervalle (Voir la proposition sur la caractérisation de l'injectivité d'une fonction continue sur un intervalle :

Soit une fonction continue sur un intervalle.

1. Si est strictement monotone, alors elle est injective.

2. Si est injective, alors elle est strictement monotone.).

Sur les fonctions et sont strictement positives et strictement croissantes donc leur produit aussi, d'où est strictement décroissante sur

Donc la fonction est une bijection de l'intervalle sur

Or d'après la proposition sur la nature de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone, on a

Comme la fonction tend vers par valeurs positives lorsque tend vers par valeurs positives, on en déduit que la fonction tend vers quand tend vers

Donc

Proposition : nature de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

Si et désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire ou sont des réels ou sont les symboles ou alors les extrémités de l'intervalle sont et (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).

De plus les intervalles et sont de même nature : fermés, ouverts, ou semi-ouverts.