Pour montrer que est dérivable sur il suffit d'après le théorème des fonctions réciproques de vérifier que est dérivable sur et que sa dérivée ne s'annule pas sur

La fonction est dérivable comme produit et quotient de fonctions dérivables ne s'annulant pas sur

Sa dérivée est la fonction

Sur l'intervalle le réel est strictement négatif et le réel est négatif ou nul, donc est strictement négatif. (On retrouve ainsi le fait que la fonction est strictement décroissante.)

La fonction ne s'annule donc pas sur

Donc la fonction est dérivable sur l'intervalle

De plus sa dérivée au point est On trouve :

Remarque : on ne peut pas expliciter la fonction mais on sait qu'elle est continue strictement décroissante et dérivable sur l'intervalle

Représentations graphiques des fonctions et