La fonction n'est pas dérivable en mais est dérivable en tout réel différent de ; la fonction est dérivable sur donc la fonction est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables ; comme de plus on en déduit que est dérivable en donc est dérivable sur

Donc à priori, d'après le théorème des fonctions réciproques , la fonction est dérivable en tout point image par d'un point tel que

Or si est strictement positif et si est strictement négatif

et et pour on a

Donc la dérivée de la fonction ne s'annule qu'en et comme on en déduit que n'est dérivable à priori que sur