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Variantes

Après avoir justifié ce principe du raisonnement par récurrence, (ou principe d'induction,) plusieurs variantes peuvent être données.

Ce principe peut s'écrire en terme de propriété.

Il suffit de poser pour se ramener à l'énoncé précédent.

On peut aussi varier l'initiation : dans certaines applications, l'initialisation se fait par exemple à 2 et non à 0. L'énoncé est adapté en conséquence.

On peut faire varier la forme de la propriété d'hérédité et adopter une forme forte à la fois sous forme ensembliste, et également en terme de propriété.

Écriture en terme de propriété

Si une propriété dépendant d'un entier naturel est vérifiée pour 0 et si lorsqu'elle est vérifiée pour un entier quelconque elle est vérifiée pour l'entier suivant alors elle est vraie pour tous les entiers.

Variation de l'initialisation

Si une propriété dépendant d'un entier naturel est vérifiée pour et si lorsqu'elle est vérifiée pour un entier quelconque elle est vérifiée pour l'entier suivant alors elle est vraie pour tous les entiers

Remarque

Si la propriété d'hérédité n'est vraie que pour il faut chercher s'il y a une valeur plus grande que pour initialiser la récurrence.

Forme ensembliste forte de la propriété d'hérédité

Si un sous-ensemble de possède les deux propriétés suivantes :

  • Initialisation:

  • Propriété d'hérédité:

alors cet ensemble est l'ensemble de tous les entiers, .

Forme forte de la propriété d'hérédité

Si est une propriété dépendant d'un entier naturel telle que

  • Initialisation : est vraie

  • Propriété d'hérédité : est vraie pour tout entier naturel strictement inférieur à alors elle est vraie pour

alors la propriété est vraie pour tous les entiers.

Légende :
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