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Définition et propriétés
Définition

Soient et deux entiers relatifs non nuls.

On dit que divise ou que est un diviseur de ou que est divisible par ou encore que est un multiple de si il existe un entier tels que

Notation

On notera si divise et dans le cas contraire.

Attention

Si divise vous remarquerez dans toute la suite de ce chapitre que nous n'écrivons jamais le quotient de par On travaille toujours avec des égalités d'entiers et on écrit

Propriété

Soient trois entiers et non nuls. Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer, et seulement une indication est donnée parfois sur la démonstration.

Diviseurs évidents

Tout entier non nul et différent de 1 ou -1, est divisible par lui-même, par son opposé, par 1 et par -1.

1 et -1 ont pour seuls diviseurs 1 et -1.

Valeur absolue d'un multiple

Si un entier divise un entier non nul alors majore :

Il existe un entier naturel non nul, (donc ) tel que

Transitivité

Si un entier en divise un second si l'entier en divise un troisième alors l'entier divise l'entier :

En effet, il existe deux entiers et tels que et donc et donc divise

Entiers mutuellement diviseurs

Si deux entiers et non nuls se divisent mutuellement, c'est-à-dire sont tels que divise et divise alors ces entiers sont égaux ou opposés.

En effet il existe deux entiers et tels que et donc On a donc ou c'est-à-dire ou

Diviseurs et multiples

Si un entier divise un entier il divise tous ses multiples.

En effet il existe un entier tel que ; alors et est donc aussi multiple de

Entiers de la forme bx + cy

Si un entier divise deux entiers et il divise tous les entiers de la forme avec et entiers.

En effet si il existe un entier tel que ; si il existe un entier tel que Alors On a donc montré que a divise tous les entiers

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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