Définition

On dit que deux nombres et sont premiers entre eux si leur pgcd pgcd est égal à 1.

Corollaire : Théorème de Bézout

Soient et deux entiers non nuls. On a l'équivalence :

pgcd

Si et sont premiers entre eux alors il existe et tels que et réciproquement si un tel couple existe, on sait que pgcd égale 1, puisque tous les entiers sont des multiples du pgcd de et Dans ce cas, le pgcd de et divise 1. Il est donc égal à 1.

Décomposition de deux nombres à l'aide de leur pgcd

Soient deux entiers et avec leur pgcd Notons et les quotients de et par Donnons nous deux entiers et satisfaisant à la relation de Bézout :

donc d'après le corollaire du théorème de Bézout et sont premiers entre deux.

Explication : Condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit le pgcd de a et b :

Si et sont deux entiers et un diviseur positif commun de et de si et on a l'équivalence :

Démonstration : Réciproque

Si est un diviseur commun positif à et si et et si pgcd alors

est un diviseur commun à et donc est un diviseur du pgcd de et il existe un entier tel que

Donc d'après les hypothèses, et est un diviseur commun à et supposés premiers entre eux. pgcd donc divise 1 et est positif.

Donc On a donc montré