Exercice n°2
Partie
Question
Montrer que 30 divise \(n ^5 - n\) pour chaque \(n.\)
Rappel de cours
voir la page Nombres premiers entre eux
Solution détaillée
\(30 = 2 \times 3 \times 5\)
\(n ^5 - n = n (n ^4 - 1) = n (n - 1) (n + 1) (n ^2 + 1)\)
Les trois nombres \(n (n - 1) (n + 1)\) étant consécutifs, leur produit est divisible par 6 (voir série n°1, ex n°1).
Il suffit de montrer puique 5 et 6 sont premiers entre eux que l'un des quatre nombres \(n (n - 1) (n + 1) (n ^2 + 1)\) est divisible par 5.
On examine le reste de \(n\) dans la division par 5 :
\(n = 5 k\)
\(n\) est divisible par 5
\(n = 5 k + 1\)
\(n - 1\) est divisible par 5
\(n = 5 k + 4\)
\(n + 1\) est divisible par 5
\(n = 5 k + 2\)
\(n ^2 + 1 = 25 k ^2 + 20 k + 4 + 1\)
\(n ^2 + 1\) est divisible par 5
\(n = 5 k + 3\)
\(n ^2 + 1 = 25 k ^2 + 30 k + 9 + 1\)
\(n ^2 + 1\) est divisible par 5
Dans tous les cas, \(n ^5 - n\) est divisible par 6 et par 5 donc par 30.