Introduction

Nous allons décrire les étapes de la résolution.

Condition d'existence de solutions

Si ne divise pas le second membre l'équation est impossible, n'a pas de solutions. Nous avons donc une condition nécessaire d'existence des solutions : divise Nous supposerons dorénavant cette condition satisfaite.

Simplification de l'équation

et divise

On pose et l'on sait que

On reporte dans l'équation, on simplifie l'équation et on obtient une nouvelle équation, qui a les mêmes solutions que la précédente,

(on se ramène donc au cas

Détermination d'une solution

On détermine une solution de l'équation en utilisant l'algorithme d'Euclide, comme on a vu précédemment.

On a un couple solution des équations (1) et (2).

Détermination de toutes les solutions

de l'équation de

Comme divise le premier membre et est premier avec d'après le théorème de Gauss, il divise il existe un entier tel que on reporte dans la dernière équation et on obtient

Récapitulation

Les solutions de l'équation initiale, quand elle admet des solutions, (c'est-à-dire quand divise sont données par :