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Plan d'étude
  • Condition d'existence de solutions

  • Simplification de l'équation

  • Détermination d'une solution

  • Détermination de toutes les solutions

  • Récapitulation

Dans l'étude d'une équation diophantienne

en multipliant éventuellement par et en changeant l'ordre des termes, on peut se ramener aux deux cas suivants, en désignant par sup et par min (

si  et  sont de même signe

si  et  sont de signes contraires.

a :

b :

c :

Dans ce programme il est fait usage de la division euclidienne dans Pour le calcul pratique, les étudiants peuvent aussi se ramener toujours au premier cas et adopter les solutions trouvées suivant la méthode étudiée en exercice.

Exemple : Résolution d'une équation

Prenons l'équation

et

et

--- Condition d'existence de solutions : si 147 ne divise pas l'équation est impossible, elle n'a pas de solutions.

--- Simplification de l'équation : si 147 divise on pose on se ramène à l'équation : par simplification par 147. Cette équation a les mêmes solutions que l'équation

--- Détermination d'une solution :

on cherche une solution de l'équation dont on connaît une solution

On en déduit une solution pour l'équation avec le second membre C'est aussi une solution de

--- Détermination de toutes les solutions de

Il est indispensable d'avoir simplifié par 147 si on veut pouvoir appliquer le théorème de Gauss pour montrer que 89 divise qu'il existe un entier tel que On obtient en reportant dans l'équation (et non en appliquant une deuxième fois le théorème de Gauss).

--- Récapitulation : on a donc obtenu l'ensemble des solutions de l'équation quand la condition de possibilité est vérifiée :

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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