On va résoudre l'équation :
Calcul du pgcd (a,b) :
Dans la colonne de gauche du tableau, on décrit l'algorithme d'Euclide.
Dans la colonne de droite, on résoud pas à pas l'équation
On cherche des coefficients
et
satisfaisant aux conditions, et on montre comment on peut les calculer.
Algorithme d'Euclide | Résolution de l'équation |
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On obtient alors le résultat suivant :
2 est une solution exacte.
Condition de possibilité :
Si le
ne divise pas le second membre, l'équation est impossible.
Ici
Comme
divise
l'équation a des solutions.
On simplifie l'équation par
L'équation donnée est équivalente à :
Calcul d'une solution particulière de l'équation :
simplifiée.
On a obtenu une solution vérifiant :
Donc le couple
est solution de l'équation :
Calcul de toutes les solutions :
Comme
sont premiers entre eux, toutes les solutions de
sont données par
Conclusion :
Toutes les solutions de l'équation initiale sont :
avec