On calcule : d'où .

On constate que pour , la formule suivante est vérifiée : .

Pour démontrer que l'égalité précédente, , est vraie pour tout entier naturel non nul, on raisonne par récurrence : l'égalité est vraie.

Soit un entier naturel non nul, si on suppose vraie, c'est-à-dire A^n=3^{n-1}A, alors on a : .

L'égalité est donc vraie. Ce qui achève la démonstration par récurrence.

Conclusion :