La matrice A peut s'écrire :

Soit , on calcule  :

La matrice est donc nilpotente.

La matrice peut donc s'écrire , avec .

La matrice unité commute avec toutes les matrices, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton au calcul de .

De plus étant égale à la matrice nulle, on a : .

Donc, pour tout entier supérieur ou égal à 2, .

On en déduit que pour tout entier n strictement positif, d'où : .