La matrice peut s'écrire : .

Donc , pour tout entier non nul.

Les matrices et commutent, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton ; l'utilisation de cette formule est d'autant plus intéressante que, d'après la question précédente, les puissances de la matrice sont nulles à partir de l'exposant 3.

, d'où : .

En remplaçant et par leurs valeurs, on obtient :

Remarque

La formule obtenue pour montre, a posteriori, qu'ici le raisonnement par récurrence est inadapté.