Soit la matrice , d'après les questions précédentes cette matrice est élément de si et seulement si elle commute avec les matrices et . Il reste donc à exprimer à l'aide des coefficients ces deux conditions.

D'où :

Finalement on a : commute avec et

L'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 qui commutent avec toutes les matrices de est donc l'ensemble des matrices de la forme , où est un élément quelconque de .

Ce résultat peut se généraliser à l'ordre : les matrices carrées d'ordre qui commutent avec toutes les matrices de sont les matrices de la forme , où est un élément quelconque de , et la matrice identité de .

Remarque

Etant donné un espace vectoriel de dimension , l'endomorphisme de associé à une matrice de ce type est l'homothétie de rapport .