Si est élément de alors commute avec toutes les matrices de , en particulier elle commute avec les matrices , , et ; la condition est donc nécessaire.

Supposons maintenant que la matrice commute avec , , et .

Pour toute matrice de on a : , d'où : .

En utilisant les propriétés du produit matriciel :

.

La matrice commute avec , , et donc :

D'où finalement : .

La matrice appartient donc à : on a démontré que la condition est suffisante.