Soient et deux éléments de .

L'égalité peut s'écrire sous forme d'un système de 3 équations à 3 inconnues . Si ce système admet une solution unique, celle-ci peut se mettre sous la forme .

On a alors, pour toutes matrices et de , l'équivalence .

On a donc pour toute matrice de : . On en déduit .

De même pour toute matrice de : et donc .

Si la notion de déterminant est connue, on peut d'abord calculer le déterminant de et, s'il est différent de 0 conclure que est inversible. De l'équivalence on peut alors déduire directement que .

Il existe d'autres méthodes pour calculer l'inverse d'une matrice mais celle-ci est l'une des plus simples.