Solution dans le cas où la notion de déterminant n'est pas connue

Soient et deux éléments de .

Cette égalité matricielle est équivalente au système suivant :

On résout par la méthode du pivot de Gauss.

On obtient , puis et solution que l'on peut écrire sous la forme :

Ces égalités peuvent s'écrire matriciellement :

Soit

On a donc pour toutes matrices et de l'équivalence .

On a donc pour toute matrice de : , on en déduit .

De même pour toute matrice de : et donc .

La matrice est donc inversible et .

Méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice

La méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice va s'appuyer sur la propriété suivante :

Lemme

Soient et deux matrices de . Si pour toute matrice appartenant à , alors .

Preuve

Il suffit de remarquer que si où le "1" est à la i-ième ligne, est la matrice colonne formée de la i-ème colonne de . On obtient donc le résultat en appliquant l'hypothèse aux matrices , pour tout compris entre 1 et .

On en déduit un procédé pratique pour déterminer explicitement l'inverse d'une matrice inversible.

En effet on a une méthode algorithmique pour résoudre les systèmes linéaires, la méthode de Gauss.

On résout donc, par ce procédé, un système linéaire avec quelconque appartenant à .

On obtient la solution que l'on peut écrire sous la forme .

Alors, comme on sait que le système a une unique solution , le lemme permet d'écrire .

Remarque

Si l'on ne sait pas à l'avance que la matrice est inversible, mais si l'on a prouvé par le procédé précédent que pour toute matrice appartenant à , on peut en déduire en utilisant le lemme que .

Solution dans le cas où la notion de déterminant est connue

det (développement suivant la première colonne).

Le déterminant de est non nul, donc est inversible.

Recherche de

Soient et deux éléments de .

Cette égalité matricielle est équivalente au système suivant :

On résout par la méthode du pivot de Gauss.

On obtient , puis et solution que l'on peut écrire sous la forme

Ces égalités peuvent s'écrire matriciellement

Soit .

On a donc pour toutes matrices et de l'équivalence .

Or, comme est inversible, .

On a donc pour tout de .

On en déduit que .