Soit une matrice non nulle de . On cherche s'il existe une matrice de telle que . D'après la question précédente on sait que deux matrices de commutent, il suffit donc de chercher une matrice de telle que . On cherche donc deux réels et tels que (1).

Pour que l'égalité (1) soit vérifiée il suffit que les quatre réels et vérifient

On pourrait montrer que cette condition est aussi nécessaire, mais cela n'est pas utile ici.

Autre justification utilisant la notion d'espace vectoriel

Les matrices et ne sont pas colinéaires (leurs coefficients ne sont pas proportionnels), elles sont donc linéairement indépendantes. On a donc :

La matrice est donnée, donc les réels et sont donnés et on cherche la matrice , c'est-à-dire les réels et . Le système est donc un système de 2 équations à 2 inconnues, les inconnues étant les réels et .

Le déterminant du système est égal à . Il est différent de 0 car la matrice étant non nulle, le couple est différent de (0, 0). Le système admet donc une solution unique. La matrice est donc inversible et sa matrice inverse appartient à .

Cette matrice inverse est obtenue en résolvant le système.

Si

Si alors car

Les formules trouvées dans le cas sont encore vraies dans le cas .

Pour tout couple le système admet donc pour solution le couple donc .