1. Comme , la matrice est inversible et . Alors on a : , ce qui est la définition de " est semblable à ".

  2. De même, comme , la matrice est inversible et , on a alors : , donc est semblable à .

  3. D'après la question 1), et la propriété de symétrie de la relation binaire "être semblable à" dans l'ensemble des matrices carrées, comme est semblable , on en déduit que est semblable à .

    Plus précisément, comme , on obtient , c'est-à-dire .

    D'après la question 2), et la propriété de transitivité de la relation binaire "être semblable à", comme est semblable à et semblable à , on en déduit que est semblable à .

    Plus précisément, comme et , on obtient , donc .

Propriété : Propriétés de la relation de similitude sur Mn(K)

La relation binaire "être semblable à ...", définie sur , est appelée relation de similitude. Elle possède les propriétés suivantes :

  1. Si est une matrice de , est semblable à elle même (on dit que la relation est réflexive).

  2. Soient et deux matrices de . Si est semblable à , alors est semblable à (on dit que la relation est symétrique).

  3. Soient et trois matrices de . Si est semblable à , et est semblable à , alors est semblable à (on dit que la relation est transitive).