On se place dans l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 .

D'après les questions précédentes on sait que et sont des sous-espaces supplémentaires de .

  1. On cherche d'abord une base de .

    Une matrice est élément de si elle vérifie , c'est-à-dire

    D'où , ce qui donne

    Le sous-espace des matrices antisymétriques est donc formé des matrices du type : . est donc engendré par ; de plus cette matrice est non nulle, elle constitue donc une partie libre de . est une base de , donc .

    et sont des sous-espaces supplémentaires de donc . On en déduit que .

    Cherchons une base de .

    Une matrice est élément de si elle vérifie , c'est-à-dire , d'où .

    Le sous-espace des matrices symétriques est donc formé des matrices du type : .

    est donc engendré par les trois matrices

    On a une partie génératrice de ayant trois éléments, or la dimension de est égale à trois, donc est une base de .

  2. Soit la matrice , les sous espaces et étant supplémentaires, cette matrice s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de et d'un élément de .

    D'après la question 2. on a :

    et

    D'où .