On cherche une base de telle que la matrice associée à par rapport aux bases et soit : .

Donc on veut trouver des vecteurs et de tels que , et .

La première égalité est toujours satisfaite puisque , donc les coordonnées de sur n'importe quelle base sont nulles.

Pour satisfaire les deux autres égalités, il suffit de choisir et , après avoir remarqué que les vecteurs et forment une famille libre de , donc déterminent une base de .

Donc en choisissant et , est la base cherchée.