Comme la partie a trois éléments dans l'espace vectoriel de dimension 3, il suffit de vérifier qu'elle forme une famille libre pour qu'elle détermine une base de .

On montre que est une famille libre :

Soient , , trois réels tels que .

Comme , on résout le système :

équivalent à équivalent à

La seule solution est bien .

De même, puisque les vecteurs forment une famille libre, est une base de .

Pour déterminer la matrice associée à par rapport aux bases et , il suffit d'expliciter les images par de dans la base :

,

et

.

Ensuite on cherche les coordonnées de et dans la base .

Il suffit de remarquer que et ,

alors : et .

D'où .