On remarque que pour ou , une ou deux colonnes de la matrice s'annulent, donc le noyau de l'endomorphisme contient un ou deux vecteurs de la base (vecteurs non nuls) et dans ces deux cas n'est pas un automorphisme. (On peut aussi remarquer directement que et , ).

Donc la propriété pour d'être différent de et de est une condition nécessaire pour que soit un automorphisme de .

Si est différent de et de , comme l'image d'une application linéaire est le sous-espace vectoriel engendré par les images des vecteurs d'une base, l'image de l'endomorphisme est :

Si est différent de et de , aucun des trois vecteurs engendrant n'est nul ; ces trois vecteurs forment une famille libre puisque est une famille libre, donc ils déterminent une base de .

On en déduit que est surjectif donc bijectif puisque c'est un endomorphisme d'un espace de type fini.

Donc la propriété pour d'être différent de et de est une condition suffisante pour que soit un automorphisme de .