La matrice est la matrice de dans la base , elle est inversible donc l'endomorphisme est bijectif, donc la matrice qui est la matrice de dans la base est elle aussi inversible.

Soit l'application réciproque de .

, et .

De l'égalité , on peut déduire l'égalité .

Or, dans la base , étant la matrice de , est la matrice de , celle de et celle de l'application d'où .