1. La famille contient 3 vecteurs et la dimension de est égale à 3, donc il suffit de vérifier qu'elle est libre pour démontrer que est une base de .

    Soit trois réels tels que alors le triplet est solution du système : .

    Ce système est équivalent à

    donc l'unique solution est (0,0,0).

    est une base de .

  2. Par une démarche analogue, on est amené à résoudre le système

    Ce système est équivalent à

    donc l'unique solution est (0,0,0).

    est une base de .

  3. Notons , la base canonique de . Nous pouvons appliquer le résultat de la question 1. aux trois bases .

    Or ,

    Pour trouver la matrice on va exprimer les vecteurs de en fonction de ceux de . Par définition

    On obtient donc

    d'où or

    donc