Rang de matrices

Le rang d'une matrice $M$ appartenant à $M_{n,p}(\mathbb R)$ est le rang de ses $p$ vecteurs colonnes ; comme la matrice $M$ a le même rang que sa transposée $\quad^tM$, le rang de $M$ est aussi le rang de ses $n$ vecteurs lignes.

On ne change pas le rang d'une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.

• (5 pts)

  Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\2&0&2&2\\-1&1&2&5\\1&1&1&1\\3&2&-1&5\end{array}\right)$

  La matrice $A$ étant de type $(5,4)$ a un rang inférieur ou égal à 4.

  En notant $L_i$, $1\le i\le5$, la $i$-ème ligne des matrices considérées, le rang de $A$ est égal au rang de la matrice $A'$ obtenue en remplaçant les lignes $L_2$ par la ligne $L_2-2L_1$, $L_3$ par $L_3+L_1$, $L_4$ par$L_4-L_1$ et $L_5$ par $L_5-3L_1$. On obtient :

  $A'=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\0&-2&0&-4\\0&2&3&8\\0&0&0&-2\\0&-1&-4&-4\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\L_2&\leftarrow&L_2-2L_1\\L_3&\leftarrow&L_3+L_1\\L_4&\leftarrow&L_4-L_1\\L_5&\leftarrow&L_5-3L_1\end{array}$

  Le rang de la matrice ne change pas quand on échange les deuxième et cinquième lignes :

  $A''=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\0&-1&-4&-4\\0&2&3&8\\0&0&0&-2\\0&-2&0&-4\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\L_2&\leftarrow&L_5\\\\\\\\\\\\\\\\\\L_5&\leftarrow&L_2\end{array}$

  On remplace ensuite $L_3$ par $L_3+2L_2$ et $L_5$ par $L_5-2L_2$

  $A'''=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\0&-1&-4&-4\\0&0&-5&0\\0&0&0&-2\\0&0&8&4\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\\\\\L_3&\leftarrow&L_3+2L_2\\\\\\\\\\L_5&\leftarrow&L_5-2L_2\end{array}$

  Le rang de cette matrice étant inférieur ou égal à 4 et les quatre premières lignes de cette matrice étant linéairement indépendantes, on en déduit que le rang de $A'''$ et donc celui de $A$ est 4.

  $\textrm{rang }(A)=4$

• (4 pts)

  Soit la matrice $B=\left(\begin{array}{cccc}1&0&2&3\\7&4&-2&-1\\11&6&-2&0\\3&2&-2&-2\end{array}\right)$

  Comme pour la matrice précédente, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes. On obtient successivement :

  en échangeant les première et troisième colonnes :

  $B'=\left(\begin{array}{cccc}2&0&1&3\\-2&4&7&-1\\-2&6&11&0\\-2&2&3&-2\end{array}\right)$

  En ajoutant la première ligne aux deuxième, troisième et quatrième lignes :

  $B''=\left(\begin{array}{cccc}2&0&1&3\\0&4&8&2\\0&6&12&3\\0&2&4&1\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\L_2&\leftarrow&L_2+L_1\\L_3&\leftarrow&L_3+L_1\\L_4&\leftarrow&L_4+L_1\end{array}$

  Les trois dernières lignes de la matrice $B'''$ sont colinéaires deux à deux.

  On en déduit que le rang de cette matrice et donc celui de $B$ est 2.

  $\textrm{rang }(B)=2$

• (3 pts)

  Soit la matrice $C=\left(\begin{array}{cccc}1&2&4&1\\-1&1&-1&0\\2&1&5&1\end{array}\right)$.

  La matrice $C$ étant de type $(3,4)$ a un rang inférieur ou égal à 3.

  Comme pour la matrice précédente, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes. On obtient successivement :

  en échangeant les première et quatrième colonnes :

  $C'=\left(\begin{array}{cccc}1&2&4&1\\0&1&-1&-1\\1&1&5&2\end{array}\right)$

  En retranchant la première ligne à la troisième ligne :

  $C''=\left(\begin{array}{cccc}1&2&4&1\\0&1&-1&-1\\0&-1&1&1\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\\\\\\\L_3&\leftarrow&L_3-L_1\end{array}$

  Les deuxième et troisième lignes de $C''$ sont colinéaires donc le rang de $C''$ est 2. Donc la matrice $C$ est de rang 2.