Rang de matrices

Le rang d'une matrice \(M\) appartenant à \(M_{n,p}(\mathbb R)\) est le rang de ses \(p\) vecteurs colonnes ; comme la matrice \(M\) a le même rang que sa transposée \(\quad^tM\), le rang de \(M\) est aussi le rang de ses \(n\) vecteurs lignes.

On ne change pas le rang d'une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes.

• (5 pts)

  Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\2&0&2&2\\-1&1&2&5\\1&1&1&1\\3&2&-1&5\end{array}\right)\)

  La matrice \(A\) étant de type \((5,4)\) a un rang inférieur ou égal à 4.

  En notant \(L_i\), \(1\le i\le5\), la \(i\)-ème ligne des matrices considérées, le rang de \(A\) est égal au rang de la matrice \(A'\) obtenue en remplaçant les lignes \(L_2\) par la ligne \(L_2-2L_1\), \(L_3\) par \(L_3+L_1\), \(L_4\) par\( L_4-L_1\) et \(L_5\) par \(L_5-3L_1\). On obtient :

  \(A'=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\0&-2&0&-4\\0&2&3&8\\0&0&0&-2\\0&-1&-4&-4\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\L_2&\leftarrow&L_2-2L_1\\L_3&\leftarrow&L_3+L_1\\L_4&\leftarrow&L_4-L_1\\L_5&\leftarrow&L_5-3L_1\end{array}\)

  Le rang de la matrice ne change pas quand on échange les deuxième et cinquième lignes :

  \(A''=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\0&-1&-4&-4\\0&2&3&8\\0&0&0&-2\\0&-2&0&-4\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\L_2&\leftarrow&L_5\\\\\\\\\\\\\\\\\\L_5&\leftarrow&L_2\end{array}\)

  On remplace ensuite \(L_3\) par \(L_3+2L_2\) et \(L_5\) par \(L_5-2L_2\)

  \(A'''=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&3\\0&-1&-4&-4\\0&0&-5&0\\0&0&0&-2\\0&0&8&4\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\\\\\L_3&\leftarrow&L_3+2L_2\\\\\\\\\\L_5&\leftarrow&L_5-2L_2\end{array}\)

  Le rang de cette matrice étant inférieur ou égal à 4 et les quatre premières lignes de cette matrice étant linéairement indépendantes, on en déduit que le rang de \(A'''\) et donc celui de \(A\) est 4.

  \(\textrm{rang }(A)=4\)

• (4 pts)

  Soit la matrice \(B=\left(\begin{array}{cccc}1&0&2&3\\7&4&-2&-1\\11&6&-2&0\\3&2&-2&-2\end{array}\right)\)

  Comme pour la matrice précédente, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes. On obtient successivement :

  en échangeant les première et troisième colonnes :

  \(B'=\left(\begin{array}{cccc}2&0&1&3\\-2&4&7&-1\\-2&6&11&0\\-2&2&3&-2\end{array}\right)\)

  En ajoutant la première ligne aux deuxième, troisième et quatrième lignes :

  \(B''=\left(\begin{array}{cccc}2&0&1&3\\0&4&8&2\\0&6&12&3\\0&2&4&1\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\L_2&\leftarrow&L_2+L_1\\L_3&\leftarrow&L_3+L_1\\L_4&\leftarrow&L_4+L_1\end{array}\)

  Les trois dernières lignes de la matrice \(B'''\) sont colinéaires deux à deux.

  On en déduit que le rang de cette matrice et donc celui de \(B\) est 2.

  \(\textrm{rang }(B)=2\)

• (3 pts)

  Soit la matrice \(C=\left(\begin{array}{cccc}1&2&4&1\\-1&1&-1&0\\2&1&5&1\end{array}\right)\).

  La matrice \(C\) étant de type \((3,4)\) a un rang inférieur ou égal à 3.

  Comme pour la matrice précédente, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes. On obtient successivement :

  en échangeant les première et quatrième colonnes :

  \(C'=\left(\begin{array}{cccc}1&2&4&1\\0&1&-1&-1\\1&1&5&2\end{array}\right)\)

  En retranchant la première ligne à la troisième ligne :

  \(C''=\left(\begin{array}{cccc}1&2&4&1\\0&1&-1&-1\\0&-1&1&1\end{array}\right)\quad\begin{array}{|||}\\\\\\\\\\\\\\\\L_3&\leftarrow&L_3-L_1\end{array}\)

  Les deuxième et troisième lignes de \(C''\) sont colinéaires donc le rang de \(C''\) est 2. Donc la matrice \(C\) est de rang 2.