1. On est dans la situation suivante :

Soit , ,une famille de vecteurs de .

Si la famille est liée, alors il existe un -uplet non nul de , tel que .

Comme est une application linéaire on en déduit :

Donc la famille est liée.

On a donc démontré l'implication

O a donc l'implication équivalente suivante (la contraposée) : .

2. Soit le rang de la matrice .

Comme est une matrice à lignes et colonnes et une matrice à lignes et colonnes, la matrice a lignes et colonnes.

L'entier est donc le rang de ces colonnes.

La matrice est la matrice de relativement aux bases canoniques de et de . Si , les colonnes de sont formées par les coordonnées des vecteurs .

Donc le rang de est égal au rang des vecteurs .

Ce rang étant le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants de la famille notons vecteurs de la base , tels que la famille soit libre.

D'après 1., cela entraîne que la famille est libre. Or cette famille de vecteurs est contenue dans la famille , donc est inférieur ou égal au rang de .

Comme le rang de est égal au rang de , on a bien : le rang de est inférieur ou égal au rang de .