Soit la base canonique de

On calcule les images par des vecteurs de la base  :

On en déduit la matrice de dans la base canonique  :

On fait de même pour  :

On en déduit la matrice de dans la base canonique  :

D'après la propriété "Matrices associées à la somme de deux applications linéaires et au produit d'une application linéaire par un scalaire", on a :

donc la matrice de est :

On rappelle la propriété "Matrices associées à la somme de deux applications linéaires et au produit d'une application linéaire par un scalaire" :

Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . Soient et des bases de et respectivement. Soient et deux applications linéaires de dans et un scalaire quelconque. Alors on a :