Résultats acquis :

Les vecteurs colonnes de la matrice sont formés avec les coordonnées des images de la base cherchée , donc on cherche une base telle que , et .

Ceci montre que doit être choisi dans , et et dans .

Soit alors non nul dans , par exemple , donc .

Soit alors et comme on en déduit que .

De même soit , alors donc .

De plus comme détermine une base de , comme et déterminent une base de , et comme et sont supplémentaires, la réunion des vecteurs de ces deux bases détermine une base de .

Donc , et déterminent une base telle que .

Remarque : on pouvait choisir aussi pour et les vecteurs et (qui formaient la base de trouvée par la première méthode), ou les vecteurs de n'importe quelle base de .