Première méthode :

Un vecteur appartient à l'image de si et seulement si il existe un vecteur

tel que donc si et seulement si il existe un triplet vérifiant le système suivant :

Pour qu'un vecteur appartienne à l'image de il est donc nécessaire d'avoir la condition  ; cette condition est suffisante car en choisissant un réel quelconque, on peut déduire du système les valeurs de et de en fonction de , , et , telles que le triplet soit solution de ces systèmes équivalents :

Si , .

Donc, en revenant à des notations minuscules, on a : .

L'image de f est un plan vectoriel.

Pour trouver une famille génératrice de ce plan, il suffit de remarquer les équivalences suivantes :

Donc

Soient et , ces deux vecteurs forment une famille génératrice de , comme de plus ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre, donc ils déterminent une base de .

(Pour montrer que est une base de , on peut aussi se servir de la question précédente : on a vu que la dimension de est , donc d'après le théorème du rang, la dimension de est ; la famille est alors une famille génératrice de deux éléments dans un sous-espace vectoriel de dimension 2, elle détermine donc une base de )

D'où est une base de avec et .

Deuxième méthode :

L'image de l'application linéaire est entièrement déterminée par les images d'une base. Dans la première question on a trouvé : , et

donc est le sous-espace vectoriel engendré par ces trois vecteurs :

Dans la question précedente on a vu que la dimension de est , donc d'après le théorème du rang, la dimension de est .

On en déduit qu'il suffit de choisir deux vecteurs non colinéaires parmi les trois vecteurs engendrant , pour avoir une base de , par exemple une base de est avec et .

Ceci détermine entièrement l'image de .

On peut compléter cette démonstration pour retrouver le résultat obtenu avec la première méthode.

Comme le sous-espace vectoriel est de dimension , c'est un plan vectoriel de ; on peut chercher une équation cartésienne de ce plan c'est-à-dire des réels tels que

Pour déterminer il suffit de remarquer que les coordonnées des vecteurs de la base de vérifient une telle équation. On obtient alors le système

Une équation du plan est donc et