Résultats acquis :

Les sous-espaces et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires si on a l'égalité

donc si et si .

On montre :

soit appartenant à ; comme appartient à , les coordonnées de vérifient l'équation , et comme appartient à , il existe un réel tel que . Donc ici , d'où , donc .

Donc la somme de et est directe :

On en déduit que ,

donc d'après le théorème du rang : .

Ceci entraîne, puisque est un sous-espace vectoriel de et qu'il a la même dimension que : .