Résultat acquis :

Les sous-espaces et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires si et seulement si et .

On montre que :

soit appartenant à ,

alors appartient à donc ,

et appartient à donc ; ceci entraîne bien que .

Donc la somme de et de est directe donc

or d'après le théorème du rang , donc , ce qui prouve que .

Remarque : pour montrer que , on a utilisé la condition sans connaître explicitement et .

On aurait pu faire de même dans l'exercice précédent pour montrer que .