Un déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes. On a donc, en utilisant la linéarité par rapport aux colonnes 1 et 3,

De plus un déterminant est inchangé si à une colonne on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes. Soit la transformation (on retranche à la colonne la colonne )

et donc en utilisant la linéarité par rapport à la deuxième colonne,

Si on échange deux colonnes dans un déterminant, on change le signe de ce déterminant. Soit la transformation (échange des colonnes 1 et 2)