Déterminants : définition, propriétés, calcul

• Calcul de \(D_1\)

Première méthode : calcul avec la règle de Sarrus

\(D_1=\left|\begin{array}{ccc}5&1&-2\\7&3&1\\-1&2&-3\end{array}\right|\)

On réécrit les deux premières colonnes à droite de la troisième colonne.

\(D_1\) est égal à la somme des produits d'éléments reliés par une flèche, affectés du signe + si la flèche est parallèle à la diagonale principale, affectés du signe si la flèche est parallèle à l'autre diagonale :

\(D_1=5\times 3\times(-3)+1\times 1\times(-1)+(-2)\times 7\times 2-(-1)\times 3\times(-2)-5\times 2 \times 1-7\times 1\times(-2)\)

\(D_1=-45-28-1-6-10+21=-90+21=-69\)

Deuxième méthode : développement de \(D_1\) suivant la première colonne :

\(D_1=(-1)^{1+1}\times 5\left|\begin{array}{cc}3&1\\2&-3\end{array}\right|+(-1)^{2+1}\times 7\left|\begin{array}{cc}1&-2\\2&-3\end{array}\right|+(-1)^{3+1}\times(-1)\left|\begin{array}{cc}1&-2\\3&1\end{array}\right|\)

Pour le calcul de \((-1)^{i+j}\), on peut remarquer que \((-1)^1+1=1\) et que \((-1)^{i+j}\) change de signe dès que l'on ajoute 1 à i ou à j, c'est-à-dire que l'on se déplace d'une ligne ou d'une colonne. On obtient ainsi le tableau des éléments \((-1)^{i+j}\).

\(\left(\begin{array}{ccc}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right)\)

\(D_1=5\left|\begin{array}{cc}3&1\\2&-3\end{array}\right|-7\left|\begin{array}{cc}1&-2\\2&-3\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1&-1\\3&1\end{array}\right|=5(-9-2)-7(-3+4)-(1+6)=-55-7-7=-69\)

Troisième méthode : on commence par faire apparaître deux zéros sur la première ligne avant de développer suivant cette ligne.

On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes. On effectue successivement les transformations \(C_1\leftarrow C_1-5C_2\) (on ajoute à la colonne \(C_1\) moins 5 fois la colonne \(C_2\)) et \(C_3\leftarrow C_3+2C_2\) (on ajoute à la colonne \(C_3\) deux fois la colonne \(C_2\))

D'où \(D_1=\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\-8&3&7\\-11&2&1\end{array}\right|\)

On développe ensuite suivant la première ligne. \(D_1=-\left|\begin{array}{cc}-8&7\\-11&1\end{array}\right|=-(-7+77)=-69\)

• Calcul de \(D_2\)

\(D_2=\left|\begin{array}{cccc}1&-2&0&3\\-1&3&1&2\\2&-4&-1&-1\\3&-3&0&4\end{array}\right|\)

La transformation \(L_2\leftarrow L_2+L_3\) ne modifie pas la valeur de \(D_2\) et fait apparaître un troisième zéro sur la troisième colonne.

\(D_2=\left|\begin{array}{cccc}1&-2&0&3\\1&-1&0&1\\2&-4&-1&-1\\3&-3&0&4\end{array}\right|\)

On développe suivant la troisième colonne :

\(D_2=(-1)^{3+3}\times(-1)\left|\begin{array}{ccc}1&-2&3\\1&-1&1\\3&-3&4\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}1&-2&3\\1&-1&1\\3&-3&4\end{array}\right|=-D'\)

La transformation \(C_1\leftarrow C_1+C_2\) fait apparaître deux zéros sur la première colonne de \(D'\):

\(D_2=-\left|\begin{array}{ccc}-1&-2&3\\0&-1&1\\0&-3&4\end{array}\right|\)

En développant suivant la première colonne on obtient

\(D_2=\left|\begin{array}{cc}-1&1\\-3&4\end{array}\right|=-4+3=-1\)

• Calcul de \(D_3\)

\(D_3=\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{array}\right|\)

Il y a plusieurs choix de transformations pour le calcul de \(D_3\). Ici, on en propose deux.

Première méthode :

On peut remarquer que les colonnes \(C_1\) et \(C_3\) d'une part, et les colonnes \(C_2\) et \(C_4\) et d'autre part, ont des coefficients opposés situés sur la même ligne.

La transformation \(C_3\leftarrow C_3+C_1\) fait apparaître deux zéros sur la colonne 3 :

\(D_3=\left|\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\1&i&0&-i\\1&-1&2&-1\\1&-i&0&i\end{array}\right|\)

et la transformation \(C_4\leftarrow C_4+C_2\) fait apparaître deux zéros sur la colonne 4 :

\(D_3=\left|\begin{array}{cccc}1&1&2&2\\1&i&0&0\\1&-1&2&-2\\1&-i&0&0\end{array}\right|\)

La transformation \(L_3\leftarrow L_3+L_1\) permet d'écrire

\(D_3=\left|\begin{array}{cccc}1&1&2&2\\1&i&0&0\\2&0&4&0\\1&-i&0&0\end{array}\right|\)

En développant suivant la dernière colonne on obtient

\(D_3=(-1)^{1+4}\times 2\left|\begin{array}{ccc}1&i&0\\2&0&4\\1&-i&0\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{ccc}1&i&0\\2&0&4\\1&-i&0\end{array}\right|\)

Puis en développant suivant la troisième colonne

\(D_3=(-2)\times(-1)\times 4\left|\begin{array}{cc}1&i\\1&-i\end{array}\right|=-8(-2i)=-16i\)

Deuxième méthode :

La première colonne de \(D_3\) ne comportant que des 1, en appliquant successivement les transformations \(L_2\leftarrow L_2-L_1\), \(L_3\leftarrow L_3-L_1\), \(L_4\leftarrow L_4-L_1\) on fait apparaître trois zéros sur la première colonne

\(D_3=\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&i-1&-2&-i-1\\0&-2&0&-2\\0&-i-1&-2&i-1\end{array}\right|\)

Le développement suivant la première colonne donne :

\(D_3=\left|\begin{array}{ccc}i-1&-2&-i-1\\-2&0&-2\\-i-1&-2&i-1\end{array}\right|\)

On effectue ensuite la transformation \(C_3\leftarrow C_3-C1\)

\(D_3=\left|\begin{array}{ccc}i-1&-2&-2i\\-2&0&0\\-i-1&-2&2i\end{array}\right|\)

et enfin en développant suivant la deuxième ligne

\(D_3=-(-2)\left|\begin{array}{cc}-2&-2i\\-2&2i\end{array}\right|=2(-4i-4i)=-16i\)