On peut remarquer que la somme des coefficients de chaque ligne de est égale à .

Or un déterminant est inchangé si, à une colonne, on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes. La transformation (on ajoute à la colonne 1 la somme des autres colonnes) ne change donc pas et permet de mettre en facteur,

et, d'après la propriété de linéarité d'un déterminant par rapport à chacune de ses colonnes

On peut remarquer que tous les coefficients placés sous la diagonale de sont égaux à 1. Si on retranche successivement la ligne 1 à chacune des autres lignes de on ne modifie pas et on obtient un déterminant triangulaire facile à calculer.

Soit donc les transformations :

Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments placés sur la diagonale principale.

D'où

On procède de la même façon que pour .

La somme des coefficients de chaque ligne de est égale à .

La transformation ne change pas et permet de mettre en facteur

D'après la propriété de linéarité d'un déterminant par rapport à chacune de ses colonnes

Tous les coefficients placés sous la diagonale de sont égaux à 1. Si on retranche la ligne 1 à chacune des autres lignes de on ne modifie pas et on obtient un déterminant triangulaire facile à calculer.

Soit donc les transformations :

On peut remarquer que si la formule obtenue nous donne bien l'expression précédemment calculée de .