1. Le déterminant des vecteurs est :

    On peut d'abord remarquer qu'on peut mettre en facteur dans tous les éléments de la seconde ligne, ce qui permet une première factorisation de :

    On observe ensuite qu'en retranchant la troisième ligne de la première ( ), on obtient une deuxième factorisation par :

    On fait ensuite la transformation , puis on développe suivant la première ligne.

    La famille détermine donc une base de si et seulement si .

  2. Pour la famille est libre, son rang est donc égal à 3.

    Etudions maintenant les cas , , .

    Les vecteurs étant linéairement dépendants, on sait que le rang de est strictement inférieur à 3 pour chacune de ces valeurs de .

    Si on a : , , et

    La matrice des coordonnées de ces trois vecteurs dans la base canonique est :

    On peut extraire un mineur d'ordre 2 non nul, par exemple .

    Le rang de est donc égal à 2.

    Si on a : , , et

    La matrice des coordonnées de ces trois vecteurs dans la base canonique est :

    Tous les mineurs d'ordre 2 sont nuls, car, ou bien ils ont une ligne de 0, ou bien ils ont deux lignes identiques.

    Le rang de est donc strictement inférieur à 2.

    La famille contenant au moins un vecteur non nul, le rang est égal à 1 (on pouvait également extraire un mineur d'ordre 1 non nul !).

    Si on a : , , et

    La matrice des coordonnées de ces trois vecteurs dans la base canonique est :

    On peut extraire un mineur d'ordre 2 non nul, par exemple .

    Le rang de est donc égal à 2.