La matrice et sa comatrice sont liées par la relation :

D'où

En appliquant les propriétés des déterminants, on a :

On a donc la relation : (*)

Supposons la matrice de rang . Cette matrice étant carrée d'ordre , son déterminant est donc non nul.

D'après la relation (*), si le déterminant de la matrice est non nul, celui de sa comatrice est nécessairement différent de 0, on a donc prouvé l'implication :

Il reste à établir la réciproque, c'est-à-dire :

Supposons la matrice de rang donc inversible et de déterminant non nul ; il en est de même pour sa transposée.

La relation

entraine que

De cette dernière égalité on déduit que le scalaire est nécessairement non nul : en effet si la matrice serait la matrice nulle et il en serait de même pour sa comatrice ce qui est absurde car est supposée inversible.

Le déterminant de la matrice est donc non nul et elle est de rang .

On a donc démontré que :

Lorsque est non nul on peut simplifier par dans la relation (*) et on obtient le déterminant de la comatrice de :

Lorsque est nul, on ne peut rien déduire de la relation (*) ; mais la démonstration précédente montre que si est nul, c'est-à-dire si n'est pas de rang , alors n'est pas de rang et donc est nul.

L'égalité est encore vraie.

On a donc démontré l'équivalence : ,

et l'égalité : .