1. On a un système de Cramer si et seulement si le déterminant du système est non nul. On calcule donc ce déterminant :

    On observe que la somme de chaque ligne (ou de chaque colonne) donne , on ajoute donc à la première colonne la somme des deux autres ( ), ce qui permet de mettre en facteur .

    Le déterminant qui reste à calculer peut être rendu triangulaire en retranchant la première ligne des deux autres ( puis )

    Le système est donc de Cramer si et seulement si est élément de et dans ce cas il a un triplet solution unique.

  2. Le résultat de la question précédente nous permet de structurer la discussion en l'étude des trois cas :

    • Étude du premier cas :

      Il reste à calculer le triplet solution

      D'après les formules de Cramer on a :

      , ,

      On a donc à calculer les trois déterminants :

      , ,

      Pour le premier déterminant, on retranche la seconde colonne de la première ( ) puis on développe suivant la première colonne :

      Pour le second on fait la transformation puis on factorise par

      On effectue ensuite la transformation

      Pour le troisième on fait la transformation

      Après simplification on obtient l'unique triplet solution du système :

    • Étude du deuxième cas :

      Le système s'écrit

      Si on ajoute les deux premières équations à la troisième ( ) on obtient comme troisième équation : .

      Par conséquent il est clair que le système a un ensemble de solution vide.

    • Étude du troisième cas :

      Le système s'écrit :

      Les trois équations sont identiques, le système est équivalent à l'unique équation : .

      Il y a une infinité de solutions dépendant de deux paramètres : tous les triplets de la forme est un élément quelconque de .

      Pour résumer, si on appelle S l'ensemble des solutions du système on a :