Les vecteurs , sont linéairement indépendants car on peut extraire un mineur d'ordre 2 non nul de la matrice de leurs coordonnées, par exemple

Un point de coordonnées appartient au plan passant par le point et de vecteurs directeurs , , si et seulement si le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs et ; ces derniers étant linéairement indépendants ceci est équivalent à : " la famille est liée ".

Une condition nécessaire et suffisante pour que le point appartienne au plan est donc que le déterminant de ces trois vecteurs soit nul.

Les coordonnées du vecteur sont .

On obtient donc la condition :

D'où, en développant suivant la première colonne :

Une équation cartésienne du plan est donc :