1. On considère .

    On procède de la même façon que lors du calcul de .

    On ne change pas la valeur de ce déterminant en soustrayant successivement la dernière ligne à chacune des lignes précédentes.

    On obtient

    On développe suivant la première colonne :

    Tous les coefficients qui interviennent dans ce déterminant sont des identités remarquables faisant intervenir un facteur .

    Pour tout couple d'entiers , et appartenant à , on note le nombre défini par : .

    Remarque : .

    On remplace donc chacun des nombres par :

    Dans chacune des lignes , , on a le terme en facteur, donc en se servant de linéarité d'un déterminant par rapport à chacune de ses lignes, est alors égal à :

    en remplaçant chaque facteur par son opposé, on fait apparaître le facteur , on obtient bien :

  2. On montre : , , .

    Le nombre est le nombre défini par : .

    Pour simplifier, dans cette question, on change les notations : soit et .

    On se sert, pour , des identités remarquables :

    et .

    Donc

    et comme

    on a bien , pour .

    Pour , on a aussi car et .