Le système linéaire

s'écrit sous forme matricielle :

Soit

On remarque que le déterminant de la matrice est un déterminant de Vandermonde qui vaut .

Comme les nombres sont distincts deux à deux, n'est pas nul et le système est un système de Cramer.

Le système proposé admet donc une solution unique pour tout nombre .

On applique les formules de Cramer permettant de trouver les :

, où est la matrice déduite de la matrice en remplaçant la -ième colonne par la colonne , c'est-à-dire est déduite de la matrice en remplaçant le nombre par le nombre : en fait est lui aussi un déterminant de Vandermonde dont la valeur est :

Comme peut s'écrire aussi

On obtient

donc

,