Le but de ce problème est de généraliser la formule trouvée pour en montrant l'égalité suivante :

On va démontrer ce résultat par récurrence, et pour cela, trouver une relation entre et .

Deux remarques s'imposent :

  1. en développant le déterminant suivant la dernière ligne, on obtient une expression polynomiale en ,

  2. en soustrayant la -ième ligne du déterminant de la -ième ligne, , on obtient 0 ou des nombres de la forme , admettant comme facteur.

On exploite ces remarques en proposant deux méthodes différentes pour chercher une relation entre et .

La première remarque nous conduit à la méthode suivante :

A. Première méthode utilisant les polynômes

Soit le polynôme à coefficients réels ou complexes défini par :