1. En développant le déterminant suivant la dernière ligne, on obtient sous la forme , où ne dépendent que des et donc sont des nombres réels ou complexes. On en déduit que le polynôme est nul ou de degré inférieur ou égal à .

    2. On suppose non nul.

      En considérant la fonction polynôme au point , on obtient :

      Ce déterminant est nul car sa première et sa dernière ligne sont égales.

      Donc .

      On a de même .

      Donc le polynôme admet pour racines.

      Comme ces racines sont distinctes, on en déduit que est de degré supérieur ou égal à , donc d'après 1., il est exactement de degré .

      Le coefficient de est obtenu en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de , c'est :

      On reconnaît le déterminant de Vandermonde .

    3. Si le polynôme est nul, tous les coefficients , , sont nuls et en particulier .

      Si le polynôme n'est pas nul, on a vu qu'il est exactement de degré , donc le coefficient n'est pas nul.

  1. D'après la question 2, si le polynôme n'est pas nul, il est de degré , et comme les , sont racines de et sont distinctes deux à deux, ce sont ses seules racines. Donc il existe une constante telle que .

    Cette constante est le coefficient de , c'est donc . D'où

    Comme

    Cette égalité reste vraie si est nul car alors est nul aussi.