Développements limités usuels

\(\displaystyle{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+x^n\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{sh }x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{ch }x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{sin }x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{cos }x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+x^n\epsilon(x)}\),

où \(\alpha \in \mathbb R\) et à chaque fois \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\).

Par exemple, si \(f(x)=\textrm{sin }x\), \(f'(x)=\textrm{cos }x\), \(f"(x)=-\textrm{sin }x\), etc. (d'une façon générale, par récurrence, \(\displaystyle{f^{(k)}(x)=\textrm{sin }(x+k\frac{\pi}{2}))}\) d'où pour \(k\) pair, \(f^{(k)}(0)=0\), et pour \(k\) impair, \(n=2l+1\), \(f^{(2l+1)}(0)=(- 1)^l\). La formule de Taylor donne alors, pour \(n=2p+1\) :

\(\begin{array}{ll}\textrm{sin }x&=\displaystyle{\sum_{k=0}^nf^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}+x^n\epsilon(x)}\\&=\displaystyle{\sum_{l=0}^p(-1)^l\frac{x^{2l+1}}{(2l+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\\&=\displaystyle{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\end{array}\)

Il faut démontrer vous-même de la même façon les formules pour les autres fonctions.

Commentaires :

• on a \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\) ; bien sûr la fonction \(\epsilon\) n'est pas la même dans chaque cas ;

• quelles sont dans l'énoncé les fonctions paires et les fonctions impaires ? contrôlez les coefficients des parties principales correspondantes conformément à la proposition ;

• regardez, par exemple, le développement limité de \(\textrm{sh }x\) ; il s'agit du développement limité à l'ordre \((2p+1)\) ; quel est le développement limité de \(\textrm{sh }x\) à l'ordre \((2p+2)\) ?